El regulador de Watt es un mecanismo cuya misión principal es
adoptar una posición que dependa de la velocidad de giro de un eje y que dicha
posición controle la mayor o menor acción motora sobre la carga del sistema.
Se procede a estudiarlo como un problema académico.
Se dispone de un sistema formado por los siguientes elementos:
Un sólido rígido pesado s(azul) formado por
una esfera maciza de radio R y masa m con una varilla de masa
despreciable de longitud 3R normal a la superficie esférica, como
muestra la figura.
Un eje vertical d (verde claro) que gira con
velocidad angular W, articulado a la varilla por
un pasador o bulón en A.
Se supone que la velocidad angular W(t)es
conocida. Se tomará un sistema de referencia con origen en A, tercer eje
dirigido de A al centro O de la esfera, primer eje en el plano de la varilla y
el eje según la figura y segundo eje el necesario para completar una terna
ortonormal y a derechas.
I.- Se estudian en primer lugar el movimiento del sólido y la acción de las
fuerzas de ligadura en A.
Expresar en función de R,m,W(t),q(t),
la velocidad angular del sólido s en la base
definida.
a) La rotación es:
®
w
= Wsenq
®
i
- Wcosq
®
k
b) La rotación es:
®
w
= Wsinq
®
i
+
.
q
®
j
- Wcosq
®
k
c) La rotación es:
®
w
=
.
q
®
j
El sólido gira con una velocidad angular respecto al eje que a su vez
gira con velocidad W con lo que la rotación
del sólido es
®
w
= Wsinq
®
i
+
.
q
®
j
- Wcosq
®
k
Expresar el tensor
de inercia de A en la base anterior y el momento cinético respecto al
punto A.
En primer lugar se puede obtener el tensor central de inercia y luego
hallar, por aplicación de la fórmula de Steiner, el tensor de A.
El tensor de inercia en el punto O, expresado por sus componentes en la
base dada es
a) Las componentes en la base dada del
tensor central de inercia son:
IO =
1
2
mR2
æ
ç
ç
ç
è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
ø
b) Las componentes en la base dada del
tensor central de inercia son:
IO =
1
5
mR2
æ
ç
ç
ç
è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
ø
c) Las componentes en la base dada del
tensor central de inercia son:
IO =
2
5
mR2
æ
ç
ç
ç
è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
ø
IO =
2
5
mR2
æ
ç
ç
ç
è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
ø
con lo que, aplicando Steiner
IA =
2
5
mR2
æ
ç
ç
ç
è
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
ø
+m(4R)2
æ
ç
ç
ç
è
1
0
0
0
1
0
0
0
0
ö
÷
÷
÷
ø
que resulta en
IA =
2
5
mR2
æ
ç
ç
ç
è
41
0
0
0
41
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
ø
Identificar las solicitaciones en A.
Si elegimos caracterizar las fuerzas de ligadura por su resultante y
su momento respecto al punto A, entonces se puede afirmar que
a)El momento respecto a A es nulo
b) La componente de la resultante
según el eje y es nula
c) La componente del momento según
el eje y es nulo
Las ligaduras que consisten en dejar un
eje fijo proporcionan una resultante y un momento perpendicular al
eje respecto a cualquier punto del mismo. Por lo tanto se tiene una
resultante
Rx
®
i
+ Ry
®
j
+ Rz
®
k
y un momento
Nx
®
i
+ Nz
®
k
Obtener una ecuación diferencial cuya única incógnita sea q(t).
El teorema de la dinámica del sólido que se puede aplicar
es
Obviamente, las ligaduras apuntan a la utilización de la segunda ecuación
de Euler
Iy
.
w
y
+ (Ix-Iz)wzwx
= My
El momento de las fuerzas aplicadas (el peso) es
My = (
®
r
C
, -mg
®
k
1
,
®
j
) =
ê
ê
ê
ê
ê
0
0
4R
-mgsinq
0
mgcosq
0
1
0
ê
ê
ê
ê
ê
= -4
mgR sinq
con lo que
41
..
q
-40
W2 sinqcosq
= -10
g
R
sen q
Si W(t) fuese constante, calcular para qué
valores existiría una solución estacionaria q(t)
= q0.
En este caso, anulando la segunda derivada de q
se tiene
cosq
=
g
4W2
que tiene solución cuando
W2
>
g
4R
II.- Se añaden al sistema anterior una segunda varilla de masa
despreciable CD articulada en los puntos C,D y un deslizador o corredera D
de masa igualmente despreciable. Existe una fuerza resistente de tipo
viscoso entre el eje d y la corredera D
directamente proporcional a la velocidad y de coeficiente de
proporcionalidad g.
Identificar las solicitaciones en la barra CD.
Sobre esta barra se ejercen fuerzas en sus extreos, pues su peso se
considera despreciable. En D recibe una fuerza vertical de módulo gvDdirigida
en sentido contrario al de la velocidad y una fuerza horizontal que
hace que la resultante sea paralela a la barra. Como la ordenada
vertical de D es
h = -4Rcosq
la velocidad de D es
®
v
= 4 R sinq
.
q
®
k
y la componente vertical de la fuerza es
Fv = -
4 gR sinq
.
q
®
k
La fuerza total será
F = 4 gR
sinq
.
q
/cosq
y su momento áxico respecto a Ay es
My = -16
gR2 sin2q
.
q
Obtener una ecuación diferencial cuya única incógnita sea q(t).
De nuevo se utilza la segunda ecuación de Euler, con lo que se
tiene
En este caso, se tiene que la solución estacionaria es (en grados)
q =
p/3 radianes
y llamando a = q-p/3
expresado , en unidades S.I.
41
..
a
+ 424.26
.
a
+ 1500 a
= 0
Resuelva la ecuación diferencial linealizada.
Al tratarse de una ecuación diferencial lineal, homogénea y de
coeficientes constantes, se tiene
q(t) = p/3
+ e-5.174 t(A cos
3.133 t + Bsen 3.133 t )
Se añade al sistema anterior una parte simétrica (roja) respecto al
eje. De esta forma se tiene un sistema equilibrado cuya dinámica es la
misma que se ha estudiado hasta ahora. Este mecanismo se denomina Regulador
de Watt.
EL regulador de Watt se ha utilizado
ampliamente en la regulación del régimen de giro de las máquinas de
vapor. En efecto, la posición del regulador refleja la velocidad de giro
del eje que está acoplado a la máquina. La posición del deslizador
marca la admisión de la válvula de vapor, de modo que si la máquina
gira muy deprisa la admisión se reduce y si la máquina gira despacio la
admisión se abre.
